課程大綱：概率論與數理統計培訓
01
概率論的基本概念
教學內容：隨機試驗、隨機事件與樣本空間，隨機事件之間的關系與運算，事件的頻率與概率，
概率的基本性質，古典概型，條件概率，乘法定理，全概率公式與貝葉斯公式，事件的獨立性。
教學要求：(1) 理解隨機試驗、樣本空間、隨機事件的概念。掌握隨機事件之間的關系。
(2) 理解概率、條件概率的概念。掌握概率的基本性質。掌握古典概率模型、幾何概率模型中隨機事件的概率計算。
(3) 掌握概率的對立事件公式、概率的加法公式、乘法公式、減法公式、全概率公式、Bayes公式并應用這些公式計算有關隨機事件的概率。
(4) 理解隨機事件獨立性的概念，掌握獨立事件的有關性質。掌握利用事件的獨立性進行概率計算。理解獨立重復試驗的概念，
掌握獨立重復試驗中有關事件的概率計算。重點：事件的運算性質與事件的獨立性，概率的基本性質，樣本空間與樣本點，
條件概率，全概率公式、貝葉斯公式和二項概率公式，加法公式，乘法公式。難點：古典概型、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式、獨立隨機試驗。
1.1 隨機事件、頻率與概率
1.2 古典概型
1.3 概率的定義
1.4 條件概率及有關公式
1.5 事件的獨立性 獨立試驗序列
1.6 習題課
02
隨機變量及其分布
教學內容：隨機變量及分布函數，離散型隨機變量的概率分布與分布函數，
常見的離散型隨機變量（0—1分布、二項分布及泊松分布），連續型隨機變量的概率密度函數與分布函數，
常見的連續型隨機變量（均勻分布、指數分布及正態分布），求隨機變量函數的分布的方法。
教學要求：(1) 理解隨機變量、隨機變量的分布函數、離散型隨機變量的分布律、連續型隨機變量的概率密度的概念，掌握它們的性質。
(2) 掌握利用隨機變量的概率分布計算有關事件的概率，掌握已知離散型隨機變量的分布律、連續型隨機變量的概率密度求其分布函數的方法。
(3) 掌握一些常見的隨機變量及其概率分布的概念：（0—1）分布、二項分布 、Poisson分布 、幾何分布、負二項分布、均勻分布、指數分布 、正態分布 及其應用。
(4) 了解Poisson定理的條件和結論，會用Poisson分布近似表示二項分布。
(5) 掌握根據自變量的概率分布求隨機變量函數的分布的原理。 重點：隨機變量及其概率分布，隨機變量分布函數的概念及其性質，
離散型隨機變量的概率分布，連續型隨機變量的概率密度，常見的隨機變量的概率分布：二項分布、泊松分布、均勻分布、正態分布，
隨機變量函數的分布。難點：均勻分布，正態分布，隨機變量函數的分布。
2.1 隨機變量及其分布函數
2.2 離散型隨機變量及其分布
2.3 連續性隨機變量及其概率密度
2.4 隨機變量函數的分布
2.5 習題課
03
多維隨機變量及其分布
教學內容：二維隨機向量及其分布；二維離散型隨機向量的概率分布與邊緣概率分布的關系及運算；
二維連續型隨機變量的分布函數與邊緣分布函數、概率密度與邊緣概率密度的關系及運算；條件概率密度及條件概率分布；
隨機變量的獨立性；兩個隨機變量和、極大與極小函數的分布；n維隨機向量及其分布。
教學要求：（1）理解二維隨機向量、聯合概率分布函數、聯合分布律、聯合分布密度的概念，掌握它們的性質。會利用聯合分布求有關隨機事件的概率。
（2）理解邊緣分布函數、邊緣分布律、邊緣分布密度的概念，掌握已知聯合分布求邊緣分布的方法。
（3）理解隨機變量獨立性的概念，掌握離散型、連續型隨機變量獨立性的判斷方法。
（4）掌握二維均勻分布、二維正態分布，并理解二維正態分布概率密度中參數的概率意義。
重點：二維隨機變量（兩種類型）及其概率分布，聯合分布與邊沿分布之間的關系，兩個隨機變量獨立性的判斷及應用，
n維隨機變量獨立性的應用，兩個獨立隨機變量和的分布。難點：二維隨機變量的函數的分布，特別是和的分布。
3.1 二維隨機變量
3.2 邊緣分布
3.3 隨機變量的相互獨立性
3.4 二維隨機變量的函數的分布
3.5 習題課
04
隨機變量的數字特征
教學內容：隨機向量的期望與方差，兩個隨機變量的協方差與相關系數，隨機變量的k階原點矩、中心矩與n維隨機向量的協方差矩陣。
教學要求：(1) 理解隨機變量的數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數等概念，掌握它們的性質。
(2) 掌握常見分布如：（0—1）分布、二項分布、Poisson分布、均勻分布、指數分布、正態分布的數字特征。
(3) 掌握按定義求數字特征以及利用數字特征的性質求數字特征的方法。會根據隨機變量、隨機向量的概率分布求隨機變量的函數 、隨機向量的函數 的數學期望。
(4) 理解隨機變量不相關的概念，掌握隨機變量獨立與不相關的關系。重點：數學期望、方差、標準差、協方差、相關系數的基本性質和計算方法，
隨機變量函數的數學期望，常見的幾個分布（二項分布、泊松分布、均勻分布、正態分布）的期望與方差。難點：隨機變量函數的數學期望、方差、協方差、相關系數。
4.1 數學期望
4.2 方差
4.3 協方差和相關系數
4.4 習題課
05
大數定律和中心極限定理
教學內容：幾個常用的大數定律和中心極限定理。教學要求：
（1）理解隨機變量序列以概率收斂的概念以及其實際含義。
(2) 掌握切比雪夫（Chebyshev）不等式，理解切比雪夫大數定理、辛欽(Khinchine)大數定理、貝努里（Bernoulli）大數定理。
(3) 理解隨機變量序列服從中心極限定理的概念，掌握利用勒維—林德貝格（Levy—Lindberg）中心極限定理、
德莫弗—拉普拉斯（DeMoive—Laplace）中心極限定理近似求概率的方法。重點：切貝雪夫不等式和隨機變量的收斂定理，
大數定律與中心極限定理。難點：切貝雪夫不等式，大數定律與中心極限定理的應用。
5.1 切比雪夫不等式
5.2 大數定理
5.3 中心極限定理
5.4 習題課
5.4 測驗題
06
樣本及抽樣分布
教學內容：總體、個體、樣本和統計量，樣本均值與方差，X2分布、t分布和F 分布，正態總體常用統計量的分布。
教學要求：（1）理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差以及樣本矩的概念。
（2）理解 —分布、t—分布、F—分布的概念，掌握其有關的性質。了解分布的分位點的概念，會查表計算。
（3）掌握正態總體中的統計量的分布 重點：理解并掌握正態總體的抽樣分布（標準正態分布、 分布、t分布、F分布）。
重點：總體、個體、樣本和統計量的概念；X2分布、t分布和F 分布的定義；正態總體樣本統計量的基本定理。
難點：正態總體的抽樣分布（標準正態分布、 分布、t分布、F分布）的應用。
6.1 隨機樣本和統計量
6.2 數理統計中常用的分布
6.3 抽樣分布定理
6.4 習題課
07
參數估計
教學內容：總體分布中參數的點估計（矩估計和極大似然估計）及區間估計；估計量的優良性準則；
在區間估計中，單個正態總體均值與方差的區間估計，兩個正態總體均值差的區間估計，一些非正態總體的區間估計。
教學要求：（1）理解參數點估計、估計量、估計值的概念，掌握求參數點估計量的兩個常用的方法：矩估計法和大似然估計法。
（2）理解評選估計量的標準：無偏性、有效性（小方差性）、相合性（相容性，一致性），掌握驗證估計量的無偏性、有效性、相合性的方法。
（3）理解未知參數區間估計的概念，掌握求單個正態總體均值和方差的置信區間，兩個正態總體均值差和方差比的置信區間的方法。
重點：矩估計法和極大似然估計法，單個正態總體的均值和方差的置信區間的求法及兩個正態總體的均值差的求法。
難點：單個正態總體單側置信區間、兩個正態總體的均值差與方差比的置信區間的求法。
7.1 參數的點估計概念
7.2 估計量的評選標準
7.3 參數的區間估計
7.4 習題課
08
假設檢驗
教學內容：假設檢驗的基本概念，正態總體均值及方差的檢驗。
教學要求：（1） 理解假設檢驗的基本思想與假設檢驗的基本步驟 ；了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤 ；
（2） 掌握單個正態總體和兩個正態總體均值與方差的假設檢驗。 重點：假設檢驗的基本思想、基本步驟；單個和兩個正態總體均值與方差的假設檢驗。難點：假設檢驗的基本思想。
8.1 假設檢驗
8.2 一個正態總體參數的假設檢驗
8.3 兩個正態總體參數的假設檢驗
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